Kā vienkāršot matemātiskās izteiksmes

Saturs

• posmi
• 1. metode ievērojiet operāciju secību
• 2. metode Vienkāršojiet sarežģītākas izteiksmes

Studentiem bieži tiek lūgts reducēt matemātiskās izteiksmes "līdz visvienkāršākajai formai", tas ir, pēc iespējas vienkāršot to. Neatkarīgi no tā, vai tas ir aptuvens vai vienkāršots, izteiciens paliek tāds pats, vienkārši otrajā gadījumā tas ir elegantāks un, pats galvenais, vieglāk apstrādājams. Dažreiz vingrinājumu uzskata par pabeigtu, kad izteiksme tiek samazināta līdz vienkāršākajai izteiksmei. Tāpēc ir svarīgi zināt, kā samazināt matemātisko izteiksmi. Faktiski tā ir pat gandrīz nemainīga darbība. Bet lasiet tālāk!

posmi

1. metode ievērojiet operāciju secību

1. 
   

   
   Uzziniet operāciju secību. Ja vēlas vienkāršot matemātisko izteiksmi, tas nedarbojas idiotiski no kreisās uz labo pusi, atbilstoši tam, kas sevi parāda. Dažām operācijām ir prioritāte salīdzinājumā ar citām, un tās jāveic vispirms. Ja jūs neievērosit šo rīkojumu, jūs nesaņemsit pareizo rezultātu. Darbību secība ir šāda: iekavas, eksponenti, reizināšana, dalīšana, saskaitīšana un, visbeidzot, atņemšana. Tas ir mnemonisks līdzeklis, kā saglabāt šo kārtību: padomājiet par "PEMDAS": "Jo tas saka Ma: Pagaidiet Simone!" (varat atrast jūs labāk!)
   • Ir patīkami zināt šo kārtību, un tas ir noderīgi daudziem izteicieniem, taču dažreiz vienkāršošanai ir nepieciešami sarežģītāki paņēmieni, ieskaitot polinoma. Lai iegūtu papildinformāciju, skat. Otro metodi.

2. 
   

   
   
   
   Sāciet ar to, kas ir iekavās. Matemātikā tie ir norādīti uz to, ka viņu saturam ir prioritāte pār jebkuru citu elementu. Šī prioritāte ir spēkā neatkarīgi no iekšējām darbībām. No otras puses, bet tas ir loģiski, iekavās tiek lietots operāciju secība. Tādējādi mums vispirms jāveic reizinājumi, tad papildinājumi utt.
   • Piemēram, mēs izmantosim izteicienu: 2x + 4 (5 + 2) + 3 - (3 + 4/2). Vispirms viss jāaprēķina iekavās. 5 + 2 un 3 + 4/2, kas dod mums 5 + 2 = 7 un 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Otrais termins iekavās dod 5, jo, pirmkārt, ja sekojam operāciju secībai, dalām 4 ar 2. Ja mēs uztveram terminu tā, kā tas ir secībā, mēs veidojam 3 + 4 un dalām ar 2, tas ir, teikt, ka mēs saņemam 7/2: zelts, tas ir nepareizi!
   • Nota bene : ja iekavās ir iekava, mēs vienmēr sākam ar to, kas atrodas iekšpusē, un mēs beidzam ar to, kas ir ievietots ārpusē.

3. 
   

   
   
   
   Tad ķersimies pie izstādes dalībniekiem. Tagad, kad esam tikuši galā ar iekavām, mums ir jāuzbrūk eksponentiem (ja tādi, protams, ir!) Skaitli ar eksponentu ir viegli pamanīt: ir skaitlis (bāze) un augšējā labajā stūrī, rakstīts mazāks , eksponents, arī skaitlis. Veiciet aprēķinus atsevišķi, pēc tam aizstājiet vērtību ar eksponentu ar aprēķināto vērtību.
   • Tagad, kad esam apstrādājuši iekavas, mūsu izteiciens ir šāds: 2x + 4 (7) + 3 - 5. Vienīgais termins ar eksponentu šeit ir: 3, kas ir vienāds 9. Mēs aizstājam izteiksmē un iegūstam: 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4. 
   

   
   Ir reizinājumu pavērsiens! Tagad ir jāveic visas reizināšanas operācijas. Reizināšanas zīme ir dažādās formās: simbols ×, punkts, zvaigznīte vai pat pilnīgi nekas! tādējādi, 4 (y) ir reizinājums, tas ir ekvivalents 4 x y
   • Mūsu vingrinājumā ir divas reizināšanas: 2x (2x = 2 × x) un 4 (7). Tā kā mēs nezinām x vērtību, mēs atstājam terminu tādu, kāds tas ir, tomēr 4 (7) = 4 × 7 = 28. Tad vienādojums kļūst: 2x + 28 + 9 - 5.

5. 
   

   
   Pāriesim pie dalīšanas. Līdzīgi kā reizināšanas zīmei, dalīšanas zīmei ir dažādas formas: simbols ÷, bet arī slīpsvītra (/ vai "slīpsvītra"), kā tas ir 3/4, piemēram, un horizontālās frakcijas līnija.
   • Mūsu piemērā nav sadalījuma (izņemot iepriekš redzēto 4/2), tāpēc mēs izlaidīsim šo soli. Šis novērojums prasa piezīmi: mēs piemērojam PEMDAS principu tiktāl, ciktāl operācija pastāv jūsu izteiksmē, pretējā gadījumā mēs pārietam pie nākamās operācijas.

6. 
   

   
   Tad pievienojiet. Nākamais solis ir visu saskaitīt. Mēs, protams, varam pievienot no kreisās un labās puses, bet dažreiz mēs varam veikt grupējumus. Piemēram, ar izteiksmi 49 + 29 + 51 + 71 labāk ir izdarīt 49 + 51 = 100 un 29 + 71 = 100, kas dod: 100 + 100 = 200, nevis 49 + 29 = 78, 78 +. 51 = 129 un 129 + 71 = 200.
   • PEMD operāciju rezultātā mūsu izteiksme izskatās šādi: "2x + 28 + 9 - 5". Tagad mums jāpievieno tas, kam vajadzētu būt - ņemiet papildinājumus, jo tie nāk no kreisās uz labo pusi. Jūs nevarat pievienot 2x un 28, jo ir mainīgais lielums (x nevar pievienot, kamēr nezināt tā skaitlisko vērtību). Kas attiecas uz 28 + 9, tas dod 37. Ja vēlreiz pārrakstām izteicienu, mums ir šāds: "2x + 37 - 5".

7. 
   

   
   Atņemt. Pēdējais PEMDAS solis ir atņemšana. Jums būtu jāatstāj tikai atvilkumi (bet tas nav obligāti). Šo soli varēja izdarīt jau iepriekš, ja uzskatīsim, ka atņemšana ir negatīva skaitļa pievienošana. Šīs pēdējās divas operācijas (saskaitīšana un atņemšana) ir savstarpēji aizstājamas.
   • Pateicoties PEMDA, mūsu izteiksme izskatās šādi: "2x + 37 - 5". Tagad mēs atņemsim, ko mēs varam. Mēs varam atņemt 5 no 32, kas ir 32 - 5 = 32.

8. 
   

   
   Pēdējo reizi pārbaudiet izteiksmi. Parasti šajā brīdī jūsu izteiksme tiek maksimāli samazināta. Konkrētajā vienādojumu ar nezināmo (x) gadījumā izteiksme ir samazināta, bet ne pilnībā. Tas būs tad, kad x tiks piešķirta skaitliska vērtība. Tomēr ir iespējams arī vienkāršot vienādojumu ar nezināmajiem (skatīt zemāk).
   • Visas PEMDAS ir ņemtas vērā, gala atbilde ir: "2x + 32". Nevar vēl vairāk vienkāršot, jo 32 un 2x nevar pievienot mainīgā 2x klātbūtnes dēļ. Kad mēs zinām x vērtību, mēs varam pabeigt aprēķinus. Atzīstiet, ka tas joprojām ir praktiskāks nekā oriģinālais izteiciens! izteiksme.

2. metode Vienkāršojiet sarežģītākas izteiksmes

1. 
   

   
   Pievienojiet identiskus nezināmos. Ja jūsu izteiksmē ir kāds nezināms, ziniet, ka ar vienu un to pašu eksponentu (vai "identiskiem terminiem") varat pievienot vai atņemt identiskus nezināmos: tas darbojas precīzi ar parastajiem skaitļiem. Atkārtosim to: nezināmajam jābūt identiskam, un arī eksponentam! Piemēram, 7x un 5x var pievienot, bet ne 7x un 5x.
   • Šis noteikums attiecas arī uz terminiem, kas satur vairākus nezināmus. Piemēram, 2xy var pievienot -3xy, bet ne -3xy vai -3y.
   • Apskatīsim izteiksmi: x + 3x + 6 - 8x. Šeit mēs varam pievienot 3x un -8x, jo tiem ir vienāda jauda. Vienkāršoti izteiciens kļūst: x - 5x + 6.

2. 
   

   
   Vienkāršojiet daļu, dalot vai "izdzēšot" kopējos faktorus. Frakcijas, kurās iekļautas tikai skaitliskas vērtības (nezināmu nav), gan skaitītāju, gan saucēju, var vienkāršot dažādos veidos. Pirmā (varbūt vienkāršākā) metode: jūs dalāt skaitītāju tieši ar saucēju. Turklāt, ja frakcijas augšdaļā un apakšā ir produkts, un viens no terminiem parādās abās pusēs, jūs varat "vienkāršot", jo tie atceļ (to dalījums ir vienāds ar 1). Tātad, apkopojot, ja abi vārdi atrodas virs un zem frakcijas joslas, varat tos izdzēst.
   • Piemēram, ņem frakciju 36/60. Ja jums ir kalkulators, veiciet dalīšanu tieši, rezultāts būs: 0,6. Ja jums tāda nav, varat izdzēst parastos faktorus. Lai to izdarītu, sadaliet divus skaitļus faktoros un pārbaudiet, vai ir kādi kopīgi faktori. 36/60 = (6 × 6) / (6 × 10) vai, ja vēlaties, 6/6 × 6/10. Tā kā 6/6 ir vienāds ar 1, izteiksme kļūst par 1 × 6/10 = 6/10. Tas vēl nav pilnībā pabeigts, jo 6 un 10 dalās ar 2, mēs iegūstam 3/5vai 0,6.

3. 
   

   
   Frakcijām ar nezināmiem tas pats. Apskatiet, vai nav neviena vārda (ar nezināmu), kas būtu kopīgs abām frakcijas daļām. Mēs varam vienkāršot nezināmo ar tā koeficientu un eksponentu.
   • Paņemsim izteiksmi (3x + 3x) / (- 3x + 15x). Šo frakciju var uzrakstīt šādā formā: (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x parādās gan skaitītājā, gan saucējā, tāpēc mēs to varam noņemt augšpusē un apakšā. Pēc tam mēs iegūstam: (x + 1) / (5 - x). Tāpat izteiksmē (2x + 4x + 6) / 2 visi termini ir dalāmi ar 2. Tad iegūstam: (2 (x + 2x + 3)) / 2un tālāk: x + 2x + 3.
   • Uzmanību! šī vienkāršošana darbojas tikai tad, ja augšpusē ir faktoru reizinājums, bet apakšā - tas pats. Piemēram, izteiksmē (x (x + 2)) / x mēs varam vienkāršot ar "x", kas dod mums: (x + 2) / 1 = (x + 2). No otras puses, ar (x + 2) / x mēs neko nevaram izdarīt, jo mums ir summa augšā, nevis produkts. To nevar vienkāršot šādā formā: 2/1 = 2.

4. 
   

   
   Izstrādāt vai faktoru? Dažos gadījumos, kad mēs vēlamies vienkāršot, cik savādi, kā izklausās, labāk ir attīstīties nekā faktorizēt. Nav ieviestu noteikumu. Tikai ar ieradumu mēs redzam, kas jādara, un mērķis vienmēr ir vienkāršot izteiksmi.
   • Piemēram, izteiksme 3 (x + 8), paplašinot, dod: 3x + 24, kamēr 3x + 24x var ņemt vērā, un tas iegūs: 3x (x + 8).
   • Dažos gadījumos koeficientu labāk saglabāt nemainīgu iekavās izteiktās izteiksmes priekšā. Patiešām, var panākt, ka tā pazūd. Ir bezjēdzīgi pārāk agri attīstīties, vienkāršošana vienmēr ir iespējama. Piemēram, frakcijā (3 (x + 8)) / 3x 3 atrodas skaitītājā un saucējā, tāpēc mēs to varam apspiest, kas dod: (x + 8) / x. Tas joprojām ir vieglāk apstrādājams nekā (3x + 24x) / 3x, rezultāts, kuru mēs būtu ieguvuši, ja mēs būtu visu izstrādājuši.

5. 
   

   
   Vienkāršojiet faktoringu. Faktorings ir paņēmiens, kas var vienkāršot daļu, dažreiz noņemot polinoma. Faktorings ir pretstats attīstīšanai. Garais izteiciens, summa kopumā, tiek pārveidots par īsāku izteiksmi, kas ir faktoru rezultāts. Šī faktorizācija jāveic tikai tad, ja aizvien notiek vienkāršošana (tāpat kā daļās). Dažos gadījumos (visbiežāk ar otrās pakāpes vienādojumiem) faktorings arī ļauj ātrāk un vienkāršāk atrast vienādojuma saknes.
   • Atkal ņemsim izteiksmi x - 5x + 6. Šo izteiksmi var ņemt vērā (x - 3) (x - 2). Tātad, ja vēlāk x - 5x + 6 tiek atrasts frakcijas skaitītājā, un, ja mums būtu saucējs (x - 2), mēs varētu to vienkāršot ar šo terminu. Piemērs: mums jāvienkāršo (x - 5x + 6) / (2 (x - 2)). Vispirms koeficientu skaita skaitītāju, un pēc tam mēs to vienkāršojam. Citiem vārdiem sakot, mēs nonākam ar (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)), mēs vienkāršojam ar (x - 2) un iegūstam: (x - 3) / 2.
   • Kā minēts iepriekš, faktoringam dažreiz ir citi iemesli.Patiešām, šīs manipulācijas kalpo vienkāršošanai, bet arī ļauj vieglāk atrisināt vienādojumu, it īpaši, ja tas pēdējais ir vienāds ar, piemēram, piemēram, ņem vienādojumu x - 5x + 6 = 0. Ja viens faktorizē, iegūst: x - 3) (x - 2) = 0. Lai atrisinātu šo vienādojumu, pietiek ar to, ka viens no terminiem ir vienāds ar 0, jo 0 reizes ir x = 0. Tāpēc 3 un 2 ir risinājumi.